Ключевой сдвиг: от сумм к интегралам
Случайная величина $X$ является непрерывной, если существует неотрицательная функция $f$, называемая функцией плотности вероятности (PDF) величины $X$, такая что для любого множества действительных чисел $B$:
$P\{X \in B\} = \int_B f(x) dx$
Ключевым является то, что это означает, что для любого конкретного значения $a$ справедливо: $P(X = a) = \int_a^a f(x) dx = 0$. В непрерывной области мы говорим только о вероятностях на интервалах.
Симбиоз функции плотности и функции распределения
Функция накопленной вероятности (CDF) $F(x)$ служит аккумулятором вероятности от минус бесконечности до $x$:
$\frac{d}{dx}F(x) = f(x)$
Меры центральной тенденции
- Ожидаемое значение: $E[X] = \int_{-\infty}^{\infty} xf(x) dx$
- Медиана ($m$): Точка, которая делит площадь пополам, где $F(m) = \frac{1}{2}$.
- Мода: Значение $x$, при котором $f(x)$ достигает максимума.
Границы суммирования
Чтобы оценить значение «интегралов» в нашем путешествии, сравните дискретный мир — где мы могли бы найти теорему Лежандра ($\sum_{k=1}^{\infty} 1/k^2 = \pi^2/6$) или сложную логику для делителей (где при $D=k$ число $k$ должно делить одновременно $X$ и $Y$, а $X/k$, $Y/k$ должны быть взаимно простыми) — с непрерывным миром. Здесь мы вычисляем дисперсию как $Var(X) = E[(X - E[X])^2]$ и ожидания функций через $E[g(X)] = \int_{-\infty}^{\infty} g(x)f(x) dx$.